閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有：有界性定理、最值定理、介值定理和一致連續(xù)性定理。有界定理和最值定理的證明，老黃已經(jīng)在前面的作品中分享了。這次老黃要分享的是介值性定理的證明。介值定理是《老黃學(xué)高數(shù)》系列視頻第126講分享的內(nèi)容。當(dāng)時(shí)老黃只分享了定理的內(nèi)容，并沒有進(jìn)行證明。在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的完備性六大基本定理之后，我們就可以對(duì)它進(jìn)行證明了。

介值性定理：設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)與f(b)之間的任何實(shí)數(shù)，則存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=μ.

介值性定理，指的是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值不相等時(shí)，介于它們之間的任何實(shí)數(shù)，都存在與之相等的函數(shù)值。老黃給大家分享兩種證法。

證法一：(應(yīng)用確界原理)不妨設(shè)f(a)μf(b)，令g(x)=f(x)-μ,【這里設(shè)左端點(diǎn)比較小，反之也是同理可證的。構(gòu)造輔助函數(shù)是高等數(shù)學(xué)一項(xiàng)重要的技能】

則g在[a,b]上連續(xù)，且g(a)0, g(b)0.【輔助函數(shù)g在閉區(qū)間[a,b]上也連續(xù)，且兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，似乎用根的存在性定理就可以證明了。但其實(shí)根的存在性定理是介值定理的一個(gè)特例，所以那樣證明并不合適】

記E={x|g(x)0, x∈[a,b]}，則E非空有界，E?[a,b]且b∈E，【E是g0時(shí)的定義域，它包含于[a,b], 且b屬于E，因?yàn)間(b)0嘛】

由確界原理，E有下確界，記x0=inf E. 【因?yàn)镋很明顯是有下界a的】

∵g(a)0, g(b)0，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在δ0，【連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性實(shí)質(zhì)就是極限的局部保號(hào)性】

使得在[a,a+δ]內(nèi)g(x)0，在[b-δ,b]內(nèi)g(x)0，【因?yàn)間函數(shù)在x=a的極限等于g(a)0，所以存在a的一個(gè)鄰域，使得鄰域內(nèi)的所有g(shù)(x)0，但我們只需取這個(gè)鄰域的右閉鄰域就足夠了，同理，在b的左閉鄰域上，也有g(shù)(x)0】

∴x0≠a, x0≠b, 即x0∈(a,b).【x0不等于a，是因?yàn)镋本身不包含a, x0不等于b，是因?yàn)閎是E的最大值，即b是E的上確界。而x0是E的下確界】

若g(x0)≠0，則g(x0)0，【x0未必屬于E，所以未必有g(shù)(x0)0，但只要g(x0)不等于0，就有g(shù)(x0)0，否則g(x)就不連續(xù)?；蛘呒僭O(shè)g(x0)0，也可以利用下確界的定義，證明它是不可能的。這是要用反證法】

則又由局部保號(hào)性，存在U(x0,η)?(a,b)，使其內(nèi)有g(shù)(x)0，

g(x0-η/2)0=x0-η /2 ∈E與x0=inf E矛盾，【與下確界的定義矛盾。因?yàn)橄麓_界減去任意正數(shù)，結(jié)果都不屬于E】

∴g(x0)=0，即f(x0)=μ.

下面再看證法二：

證法二：(應(yīng)用區(qū)間套原理)不妨設(shè)f(a)μf(b),令g(x)=f(x)-μ,【這一步和證法一相同】

將[a,b]二等分為[a,c]與[c,b]. 若g(c)=0，則c為所求.【閉區(qū)間二等分，如果二等分點(diǎn)的g函數(shù)等于0，就剛好是所求的點(diǎn)，否則】

若g(c)0,則記[a1,b1]=[a,c];若g(c)0,則記[a1,b1]=[c,b]，則【取兩端點(diǎn)g函數(shù)異號(hào)的那個(gè)半?yún)^(qū)間，記為構(gòu)造區(qū)間套的第一個(gè)閉區(qū)間】

g(a1)0,g(b1)0且[a1,b1]?[a,b]，b1-a1=(b-a)/2.【這個(gè)閉區(qū)間的長(zhǎng)度是原區(qū)間的一半】

不斷重復(fù)以上過程，可得g(cn)=0或g(a_(n+1))0,g(b_(n+1))0【繼續(xù)將半?yún)^(qū)間二等分，如此反復(fù)不斷進(jìn)行，如果n等分點(diǎn)cn的g函數(shù)值等于0，那么cn就是所求，否則，就會(huì)有第n+1個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)的g函數(shù)小于0，右端點(diǎn)的g函數(shù)大于0】

且[a_(n+1),b_(n+1)]?[an,bn]，bn-an=(b-a)/2^n, n=1,2,….【并且得到一個(gè)閉區(qū)間列，后面的閉區(qū)間真包含于前面的閉區(qū)間，且閉區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0，符合區(qū)間套的定義】

即{[an,bn]}是閉區(qū)間套，

則存在x0∈[an,bn], n=1,2,…【閉區(qū)間套確定一個(gè)點(diǎn)，一般記為ξ，這里為了保持和證法一的字母相同，記為x0】

若g(x0)≠0，不妨設(shè)g(x0)0，由局部保號(hào)性，存在U(x0, δ)，使其內(nèi)有g(shù)(x)0.

又當(dāng)n充分大時(shí)，有[an,bn]?U(x0, δ)，∴g(an)0矛盾.

∴g(x0)=0，即f(x0)=μ.

兩個(gè)證法都不是很簡(jiǎn)單，你應(yīng)該能夠理解為什么高數(shù)的教材中一般不對(duì)這個(gè)定理進(jìn)行證明的原因了吧！